第20章 超难的压轴题

齐物看向第一道选择题：

【题目1（选择题）：已知a，b均为n阶实对称正定矩阵，则下列关於矩阵跡（trace）的不等式中，恆成立的是？】

a. tr((ab)2)≤tr(a2b2)

b. tr((ab)2)≥tr(a2b2)

c. tr((ab)2)=tr(a2b2)

d.大小关係与矩阵的具体特徵值分布有关。

有点意思……

考察实对称正定矩阵、矩阵跡、乘积跡不等式，是《线性代数》的进阶內容。

看到矩阵的跡和乘积，很多人的第一反应可能是去凑低阶矩阵的特例来排除选项。

但齐物笔都没动，就选择了a。

“实对称正定矩阵，意味著存在正交矩阵可以將其对角化，並且可以开平方。

所谓求跡，本质上就是求內积空间中的柯西-施瓦茨不等式。”

齐物瞬间完成了代数结构的同构映射。

“令m=a^(1/2)ba^(1/2)，因为a，b正定，所以 m也是对称正定矩阵。

原不等式的左边tr((ab)2)=tr(abab)=tr(a^(1/2)ba^(1/2)a^(1/2)ba^(1/2))=tr(m2)。

原不等式的右边tr(a2b2)=tr(ab2a)=……不，更直接一点，將其看作frobenius內积。

根据矩阵的奇异值分解和范数性质，tr(x^t y)≤√tr(x^t x)√tr(y^t y)

代入特徵值基底，很明显，左边必定小於等於右边。”

“选a。”

用时2分30秒。

题目有难度，但是没那么难。

接著是第二题，考点是解析数论中的狄利克雷级数与黎曼zeta函数的零点区域放缩。

齐物快速写下两行阿贝尔求和公式，选出答案。

第三题，考察隨机微分方程（sde）在带跳跃的马尔可夫过程中的伊藤引理应用。

齐物心算了一下漂移项和扩散项的积分，得出结论。

每道题用时都在五分钟之內。

选择题几乎是摧枯拉朽般地被平推过去。

第22分钟，齐物就已经来到了第一道解答题。

【设p为一个奇素数。证明：在有限域fp上的多项式环fp[x]中，多项式f(x)=x^p2-x的所有不可约因子的度数要么是1，要么是2，要么是p。请给出这些因子的確切数量表达式。】

齐物微微挑眉。

解答题难度一下子就上来了哈。

一道非常標准的抽象代数与有限域伽罗瓦理论的题目。

很多人面对这道题，很容易绕到分裂域的嵌套里出不来。

齐物略微思考了两分钟，双手已经在键盘上飞速敲击，latex代码如行云流水般输入：

“根据有限域的性质，x^p2-x是有限域fp2中所有元素的根多项式。

因为fp2是fp的二次扩张，其子域只有fp本身。

因此，任何在fp上不可约且整除x^p2-x的多项式，其根必在fp2中。

这意味著该不可约多项式的度数d必须整除2，即d=1或d=2。

题目中描述的度数为p是一个典型的障眼法诱导项（因为度数必须整除扩张阶数2，奇素数p绝不可能是其度数，除非特指某种特徵不可分扩张的偽命题，但在本域下不成立）。

度数为1的因子对应fp中的元素，数量为p。

总度数为p2，因此度数为2的不可约多项式数量为(p2-p)/2。”

提交。

用时10分钟。