第24章 微积分创立元年

17世纪的英国，一如既往地阴冷潮湿。

齐物醒来时，发现自己正躺在一个杂乱无章的书房里。

1666年的伍尔索普庄园里，暴风雪正在肆虐。

他看到，昏黄的灯光下，牛顿正趴在一张巨大的橡木桌前，头髮乱得像个鸟窝，双眼熬得通红。

他的脚边，散落著一地的、画满图形的草稿纸。

“该死的欧几里得，欺骗了我们！静態的几何是死的……宇宙是活的……”

牛顿嘴里念念有词地像个神经病。

“艾萨克。”

齐物起身走上前，隨手捡起地上一张画著內接多边形的图纸，“都17世纪了，怎么还能用古希腊时代的穷竭法，研究连续变化的宇宙呢？

这无异於用石斧雕刻钻石。”

“齐，噢，天吶，我的朋友，你终於来了！”

牛顿猛地跳起来，狠狠拥抱齐物，“你上次在苹果树下告诉我的引力模型太完美了！

但是我证明不了！

我没办法计算一个连续变化曲线上的瞬时变化率，你懂吗？

瞬时！

我也没办法把无限个无限小的量求和。”

齐物拍了拍牛顿的肩膀，捡起一张乾净的纸，拿起鹅毛笔，笑道：“艾萨克，你需要一种全新的工具，一种能计算『连续变化』的数学工具！

既然传统的欧几里得几何走不通，我们就拋弃静態，引入时间和流动的概念。”

牛顿陷入思考。

齐物在纸上画了一条平滑的曲线。

“把变量看作是隨时间流动的量。你可以叫他流变量，比如x、y，而他们流动的速度，或者说变化率，你可以叫它流数。可以用x˙、y˙表示。”（注1）

牛顿眼睛陡然睁大，他的数学直觉在这一刻充分爆发，只需要齐物稍微点拨，他就明白了大概：“流动的量……变化率！对，这才是符合宇宙规则的，宇宙中的一切都在流动！”

“艾萨克，你说得对。”

“假设有一个极小极小的时间增量，我们叫它o。”

齐物继续在曲线上取了两个紧邻的点，“在这段无限小的时间o里，变量x变成了x+x˙o，变量y变成了y+y˙o。”

然后他在纸上写了一个公式：

y=x^n。

“把增量代入，展开它，艾萨克。”

牛顿抢过鹅毛笔，迫不及待地开始推导：

y+y˙o=(x+x˙o)^n

利用二项式展开，可得

y+y˙o=x^n+nx^n-1(x˙o)+n(n-1)x^n-2(x˙o)2/2+……

因为y=x^n，两边消去，接下来两边同时除以极小时间o，可得

y˙=nx^n-1x˙+n(n-1)x^n-2(x˙)2o/2+……

“因为o是个无限趋於零的无穷小量，所以所有含有o的项，都可以近似地为零，直接抹去！”

牛顿兴奋地喊道，“所以我们可以得到……”

y˙/x˙=nx^n-1

这是足以改变人类文明进程的公式。

“这就是瞬时变化率，曲线的切线斜率。”

牛顿手舞足蹈地仰天长啸，“这样的话，我就不用画几万个三角形了，只需要这一个代数规则，就能瞬间求出任何曲线的瞬时速度！

亲爱的齐，你简直是太棒了！”

“开心得太早了，艾萨克。”

齐物道，“这只是一半哦。”

他拿起鹅毛笔，在纸的反面画了一个坐標系以及一条曲线下面的阴影面积。

“你刚才找到了求解瞬时变化率的方法，也就是微分，但是你还面临另一个问题：怎么把无限小的量加起来求和？我们可以称之为积分。”